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Propiedades de los polígonos

 Un polígono con n lados, tienen como suma de sus ángulos interiores 180° (n -2)

Se toma como referencia un vértice cualquiera y se trazan (n – 2) triángulos en el polígono.

la suma de los ángulos de un triángulos es 180°.

Es fácil ver que la suma de los ángulos interiores del polígono, es la suma de los ángulos de los triángulos.

A + B + C + D + E = 190° (n – 2)

Si el polígono es regular, y se desea calcular el valor del angulo interior basta con dividir 180° (n – 2) entre el numero de lados del polígono.

                                   Angulo interior=   

La suma de los ángulos exteriores de un polígono es igual a 360°

La suma de los ángulos interiores y exterior de un vértice del polígono es de 180°.

La suma de los ángulos interiores y exteriores del polígonos es 180° n.

Por lo tanto, a 180° n restamos la suma de los ángulos interiores 180° (n – 2).

180° n – 180° (n – n + 2) = 360°

Suma de ángulos exteriores = 360°

3. El total de diagonales que se pueden trazar en un polígono de n lados, se obtiene con la expresión:

   Video:

Polígonos ELEMENTOS Y CLASIFICACIÓN

Elementos

Estos son los elementos de un polígono:

·         Lado: uno de los segmentos antes nombrados que delimita la superficie del polígono.

·         Vértice: punto donde se unen dos segmentos de los que conforman el polígono.

·         Diagonal: segmento que une dos vértices no adyacentes.

·         Ángulo: apertura de los dos segmentos adyacentes que concurren en un vértice.

Para poder identificar fácilmente los elementos de un polígono existe una notación muy sencilla que nos facilita saber de que elemento estamos hablando en cada momento. Así podremos diferenciar los lados, vértices o cualquier otro elemento entre si.

Ejemplo:

Clasificación        

Veamos ahora la clasificación de los polígonos regulares según su número de lados:

Nombre	Número de lados
No existe	1
No existe	2
Triángulo	3
Cuadrado	4
Pentágono	5
Hexágono	6
Heptágono	7
Octógono	8
Eneágono	9
Decágono	10

ANGULO CENTRAL:

son los que se forman con vértice en el centro del polígono, y cuyos lados son los radios que unen ese centro a dos vértices consecutivos. Por lo tanto, un polígono regular tiene tantos ángulos centrales, todos iguales, como lados. Por lo tanto, como la medida de la suma de todos los ángulos que pueden formarse alrededor de un punto, es de 360° la medida del ángulo central de un polígono regular es igual a 360 dividido por la cantidad de lados.

·         Ángulo central del triángulo equilátero: 360° ÷ 3 = 120°.

·         Ángulo central del cuadrado: 360° ÷ 4 = 90°.

·         Ángulo central del pentágono: 360° ÷ 5 = 72°.

·         Ángulo central del hexágono: 360° ÷ 6 = 60°.

·         Ángulo central del octágono: 360° ÷ 8 = 45°.

·         Ángulo central del decágono: 360° ÷ 10 = 36°.

Ejemplo:

Si n es el número de lados de un polígono:

Ángulo central = 360° : n

Ángulo central del pentágono regular= 360° : 5 = 72º

ANGULO INTERIOR:

En geometría, un ángulo interior o ángulo interno es un ángulo formado por dos ladosde un polígono que comparten un vérticecomún, está contenido dentro del polígono. Un polígono simple tiene sólo un ángulo interno por cada vértice.

En el plano euclídeo, si todos los ángulos interiores de un polígono no superan los 180 grados sexagesimales o  radianes, se clasifican como polígonos convexos. Si existe por lo menos un ángulo interior superior

a 180 grados o  radianes, se trata de un polígono cóncavo.

Si todos los ángulos interiores de un polígono simple y convexo son iguales y todos sus lados tienen la misma longitud, se trata de un polígono regular. En caso contrario, se trata de un polígono irregular.

Ejercicio:
calcula la medida del angulo interior de un hexágono 
solución:
n=5         i=(n-2)180°
               ----------------
                       n 
              =(6-2)180°
             ------------------
                      6
              =4(180°)
              ----------------
                       6
                 = 720°
               -------------
                      6
                = 120°

ANGULO EXTERIOR

En general, un ángulo externo, exterior o ángulo exterior a un polígono, es aquel que está entre un lado de un polígono y la línea que se extiende desde el lado adyacente. Éste y el ángulo exterior en el mismo vértice son suplementarios, es decir, suman 180⁰.

Un ángulo externo es aquel que es formado por un lado de un polígono y la prolongación del lado adyacente. Éste se encuentra en la parte exterior del polígono.

SUMA DE ANGULOS INTERIORES Y EXTERIORES:

En un triángulo existen dos tipos de ángulos: los ángulos interiores lo forman dos lados y los ángulos exteriores lo forman un lado y su prolongación.

Sus propiedades son:

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

A + B + C = 180º

 El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

α = B + C

3.   Un ángulo interior y exterior de un triángulo son suplementarios, es decir, suman 180º.

α = 180º – A

Suma de ángulos interiores y exteriores de un cuadrilátero

Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados, los ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360°

Un cuadrado suma 360°, 90° + 90° + 90° + 90° = 360°

Suma de ángulos interiores y exteriores de un Pentágono 

Un pentágono tiene 5 lados, y se puede dividir en tres triángulos, así que sus ángulos interiores suman 3 × 180° = 540°

Y si es regular (todos los ángulos son iguales), cada uno mide 540° / 5 = 108°

Regla general

Cada vez que añadimos un lado más (de triángulo a cuadrilátero, a pentágono, etcétera) sumamos otros 180°al total:

DIAGONALES

Las diagonales de un polígono son segmentos que unen dos vértices no consecutivos.

El número de diagonales (D) de un polígono convexo (sea o no regular) viene determinado por el número de lados (N) que tiene el polígono. Su fórmula es:

Esto es así porque de cada vértice sale una diagonal a los demás vértices, excepto a sí mismo y sus dos consecutivos (de ahí el -3). Como una diagonal la trazamos entre dos vértices dos veces, una en cada sentido, el resultado del numerador se tiene que dividir por 2.

Ejemplo:

Un cuadrado tiene 4 lados. Se aplica la fórmula para comprobar el número de diagonales

El cuadrado tiene dos diagonales. Si la longitud de los lados son conocidos, se puede calcular la longitud de las diagonales.

PERíMETROS Y ÁREAS:

El perímetro de un polígono es igual a la suma de las longitudes de sus lados.

Definición de área

El área de un polígono es la medida de la región o superficie encerrada por un polígono.

Perímetro del triangulo

triángulo equilátero:

triángulo isósceles:                                                                                 

triángulo escaleno:                                                                                 

                                                     

Ejercicio:


Hallar el área y el perímetro del siguiente triángulo:

 








P = 2 · 11 + 7.5 = 29.5 cm

                             

Poliedros Elementos y clasificación

En un poliedro podemos distinguir los siguientes elementos:

Caras: son los polígonos que forman el poliedro.

Aristas: son los segmentos donde hacen intersección las caras.

Vértices: son los puntos donde hacen intersección las aristas.

Además podemos citar los ángulos diedrosdelimitados por dos caras que se cortan.

Ángulo diedro es la región del espacio delimitada por los semiplanos que contienen dos caras que se cortan.

Hay tantos como número de aristas.

También encontramos ángulos poliedros determinados  por las caras que inciden en un mismo vértice.

Ángulo poliedro es la región del espacio delimitada por los semiplanos que contienen las caras que inciden en un vértice.

Hay tantos como número de vértices.

CLASIFICACIÓN:

Los poliedros se pueden nombrar y clasificar según distintos criterios. Se podrían hacer muchas consideraciones al respecto,

pero hemos pensado que lo mejor es simplificar la situación para poder entenderlo mejor:

- Clasificación según su NÚMERO DE CARAS. Para ello, se cuenta el número totales de caras de un poliedro, y

se construye su nombre utilizando términos provenientes del griego clásico: tetraedro, pentaedro, hexaedro, heptaedro… (La primera parte indica el número de caras y la partícula “edro” significa “cara”).

 Si te fijas, es la misma forma que se utiliza para nombrar a los polígonos según su número de lados.

- Clasificación según su REGULARIDAD. Se clasifican en poliedros regulares e irregulares. Para que un polígono

sea regular, debe tener todas sus caras, aristas y ángulos iguales. Lo que pasa es que solo existen 5 poliedros que tengan estas

características. También se les llama SÓLIDOS PLATÓNICOS.

- Clasificación en convexos y cóncavos. Se considera que un

poliedro es convexo si dos puntos cualesquiera del poliedro se pueden unir

con una línea que no salga del poliedro.

 La mayoría de poliedros cóncavos tienen algún ángulo mayor de 180°

.

Muchos poliedros cóncavos se consideran “poliedros estrellados”.

 A continuación mostramos un deltaedro convexo y otro deltaedro cóncavo.

- Clasificación según sus CARAS. Según esto podemos distinguir varias situaciones:

 · Poliedro de caras regulares: todas sus caras son polígonos regulares (aunque pueden ser polígonos distintos, y ser

Distintas sus aristas). Aquí se incluyen los 5 sólidos platónicos y otros muchos poliedros.

 · Poliedros de caras uniformes: todas sus caras son iguales (aunque pueden ser polígonos irregulares, o ser su aristas

Distintas. Aquí se incluyen los 5 sólidos platónicos y otros muchos poliedros.

- Clasificación según sus aristas: Se denominan poliedros de aristas uniformes a aquellos en los que una arista

Contiene un par de caras, que son iguales a otro par de caras de cualquier otra arista.

- Clasificación según sus de vértices: se denominan poliedros de vértices uniformes a aquellos en los que en un

Vértice convergen el mismo número de caras y en el mismo orden.

- Clasificación según sus CARACTERÍSTICAS (familias de poliedros). Es la forma más usual y actual de

Clasificar y nombrar a los poliedros. Se distinguen 2 grandes familias:

 · Poliedros regulares o SÓLIDOS PLATÓNICOS: como antes hemos nombrado, deben tener todas sus caras, aristas y

Ángulos iguales. Solo existen 5: tetraedro, hexaedro o cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro, regulares.

 · Poliedros no regulares: no tienen todas sus caras, aristas o ángulos iguales. Hay infinitos poliedros irregulares, por lo

Que, este gran grupo, se divide en familias, con numerosos poliedros (infinitos en muchos casos).

VOLÚMENES :

El volumen de un cubo se obtiene multiplicando el área de la base, por su altura.Como las caras que limitan al cubo son cuadrados,entonces el área de las bases corresponden al área del cuadrado que se obtiene multiplicando lado por lado.si se denota el área del cuadrado por A al lado por a; entonces A=a y como la altura del cubo también mide a, entonces el volumen V del cubo es igual al cubo o tercer potencia del lado.

Ejercicio:

V=Bh

V=(42)(10)

=(16)(10)

=160cm ala tercera potencia 

     

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Elementos de la circunferencia 

    

En la imagen expuesta arriba se pueden ver todos los elementos que vamos a nombrar a continuación: 
Centro: punto central que está a la misma distancia de todos los puntos pertenecientes a la circunferencia. 
Radio: pedazo de recta que une el centro con cualquier punto perteneciente a la circunferencia. 
Cuerda: pedazo de recta que une dos puntos cualquiera de una circunferencia. 
Diámetro: mayor cuerda que une dos puntos de una circunferencia. Hay infinitos diámetros y todos pasan por el centro de la circunferencia. 
Recta secante: recta que corta dos puntos cualesquiera de una circunferencia. 
Recta tangente: recta que toca a la circunferencia en un solo punto y es perpendicular a un radio.

Ejercicio:Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A(2,-1) y cuyo centro es C(-1,3).

En este ejercicio conocemos el centro y un punto de la circunferencia:

Nos falta conocer el radio de la circunferencia para poder calcular su ecuación, que es igual a la distancia entre el punto A y el centro C:

Ahora ya conocemos el centro y el radio:

Por tanto, ya podemos calcular la ecuación de la circunferencia.

En la siguiente expresión:

Sustituimos a, b y r por sus valores:

Y reordenamos términos para dejar la ecuación en su forma general:

Video:

Circunferencia y círculo CONCEPTO DE CÍRCULO Y CINRCUNFERENCIA 

Circulo:

Un círculo es una superficie plana limitada por una línea curva (circunferencia).

A menudo se utiliza indistintamente círculo y circunferencia para nombrar la misma cosa, pero esto no es correcto. Circunferencia es una curva geométrica plana, cerrada, cuyos puntos son equidistantes (están a la misma distancia) del centro, y sólo posee longitud de la circunferencia, es decir, el perímetro del círculo.

Cabe destacar que aunque ambos conceptos están relacionados, no debe confundirse: la circunferencia es la línea curva y el círculo la superficie de la figura.

El círculo, al ser una figura plana (todos sus puntos están contenidos en un solo plano) tiene dos dimensiones y por lo tanto tiene área.

Circunferencia:

La circunferencia es una línea curva, cerrada y plana, cuyos puntos están todos a la misma distancia de otro punto, llamado centro.

Dimensión de la circunferencia: al ser una línea, la circunferencia tiene una sola dimensión, la longitud.

Centro de la circunferencia: punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.

Radio de la circunferencia: segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de la misma.

Cuerda de la circunferencia: segmento que une dos puntos de la circunferencia, el radio es perpendicular a la cuerda en su punto medio.

Diámetro de la circunferencia: es una cuerda que pasa por el centro. Es la cuerda que mayor tamaño tiene.

Arco de la circunferencia: es la porción de circunferencia limitada por dos puntos de la misma, también se puede decir que es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia

Para poder hablar de rectas y segmentos en la circunferencia primero se maneja el concepto de circunferencia que es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto llamado centro.
Las rectas y segmentos de la circunferencia son: radio, diámetro, cuerda, tangente, secante y arco mismos que se apreciarán y distinguirán con el apoyo de GEOGEBRA y para esto se debe dar clic en la liga RECTAS Y SEGMENTOS EN LA CIRCUNFERENCIA que se encuentra en la parte inferior de la siguiente imagen .

Al trabajar las rectas y segmentos en la circunferencia hay que tener presente los siguientes teoremas:

•         El diámetro divide a la circunferencia y al círculo en dos partes iguales.
•     El diámetro es la mayor cuerda de la circunferencia.
• ·  En una circunferencia, o en circunferencias iguales, a cuerdas iguales corresponden arcos iguales, y si dos cuerdas son desiguales, a la mayor corresponde mayor arco.
• ·  La tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de contacto

Ejercicio:Un ejemplo de circunferencia lo podemos encontrar en...

un plato.

la tapa de una caja redonda de galletas.

un hula hoop.

ANGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

Ángulo central es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella.

La medida del arco AB es la del ángulo central AOB.

Arco AB = Angulo AOB

Arco AB = Ángulo AOB

Esta igualdad nos permite medir en función del ángulo central o arco el resto de ángulos que pueden definirse en la circunferencia. 

Angulo inscrito es aquel que tiene su vértice en la circunferencia.

El ángulo semiinscrito, (uno de los segmentos secante y el otro tangente) es un caso particular, o caso límite.

El ángulo inscrito mide la mitad que el arco que comprende.

Angulo interior, tiene su centro en un punto interior del círculo.

            

La medida del ángulo interior es la semisuma de los arcos que comprenden él y su opuesto.

          

Ángulo exterior es aquel que tiene su vértice en un punto exterior de la circunferencia, pudiendo ser sus lados, tangentes o secantes a la misma.

La medida del ángulo exterior es la semidiferencia de los arcos que abarca.

Ejercicios:

Perímetro de la circunferencia 

Dada una circunferencia, el perímetro de una circunferencia es la longitud de la curva,
es decir, la distancia que caminaría una persona que empezara a caminar en un punto 
de la circunferencia y diera una vuelta alrededor de la circunferencia hasta llegar al punto
de partida.

De igual manera que para el área, existe una expresión que nos permite saber la longitud
(o perímetro) de la circunferencia sólo conociendo su radio "r"

La expresión es la siguiente:

Ejercicio:

Calcula el área de un círculo cuyo radio es igual a 20 cm.

Tenemos como dato que el r=20 cm.

Por tanto, a partir de la fórmula del área del círculo:

Sustituimos r por 20 y operamos:

El área del círculo es de 1256,63 cm²

AREA DEL CÍRCULO

El área del círculo es igual al producto de π por el radio (r) al cuadrado.

También se puede calcular el área conociendo el diámetro del círculo (D), 
ya que éste es el doble del radio.

Como un círculo es un polígono regular de infinitos lados, podemos 
aplicar la fórmula general del área del polígono regular:

Ejemplo:

Sea un círculo de radio conocido, siendo éste r=2 cm.

Aplicamos la fórmula anterior:

Y se obtiene que el área de un círculo de radio 2 cm es de 12,57 cm².

Secciones de un círculo :

Sector circular

Considere la posibilidad de un círculo y dos puntos A y B pertenecen a ella.

Nos sumamos con un punto de un segmento con el centro O del círculo y el punto B siempre con el centro O; considerar la parte del círculo entre el arco AB y el ángulo en el centro de AÔB; Esta parte se denomina sector circular ya que es una parte del círculo. La extensión del sector circular de la superficie de la zona llamada del sector circular y denota por A_s.
Entre el sector de la zona y el ángulo en el centro hay una proporcionalidad directa, en el sentido de que cuanto mayor es el ángulo en el centro mayor es el área del sector circular; De hecho, el sector es una parte de un círculo. Cuando el ángulo central es 360° sector de la zona que es igual al área del círculo.
Ejemplo

El área de un círculo es 100 π cm²; Calcular el área del sector circular subtendido por AB sabiendo que el ángulo AÔB al centro es de 90°.

Progreso

Aplico la fórmula:

Recordando que el área del círculo es:

A = r·r· 3,14  = 100 π cm²

Pongo los valores y me sale:


Respuesta

El área del sector circular es de 25π  cm².

Corona circular:

Dibujamos dos círculos de un radio r y un radio R, más grandes que r. La corona circular es la parte de la superficie entre los dos circunferencia.
Para calcular el área de la corona sólo hacer la diferencia entre el área del círculo exterior de radio R y el área del círculo interior de radio r.
Ejemplo:
A cuernos circulares interiores tiene un radio r = 20 cm y exteriores radio R = 30 cm. Calcular el área de la corona circular.
Progreso
En primer lugar el cálculo del área del círculo exterior con la fórmula:
A_e = R x R x 3,14159
y me sale:
A_e = 30 cm x 30 cm x 3,14159 = 2827,431 cm²
Cálculo y, a continuación, el área del círculo interior con la fórmula:
A_i = r x r x 3,14159
y me sale:
A_i = 20 cm x 20 cm x 3,14159 = 1256,636 cm²
Hago la diferencia entre el área del círculo exterior y el área del círculo interior.
por lo que:
A_c = A_e - A_i = 2827,431 - 1256,636 = 1570,795 cm² = 500 π cm²
Respuesta
El área de la corona circular es 1570.795 cm².

Trapecio circular:

 Un trapecio circular es la parte de una corona circular comprendida entre dos radios del círculo mayor.

Área del trapecio circular

El área del trapecio circular es el resultado de restarle al sector circular mayor el sector circular menor.

También se puede calcular con el ángulo en radianes.

Ejercicio:

Hallar el área de un trapecio circular que pertenece a una corona circular de radios 5 y 3. Los radios que lo delimitan forman un ángulo de 60°.

Por lo tanto, tenemos que el radio mayor es R = 5 cm, el radio menor es r = 3 cm y el ángulo α = 60°.

Y se obtiene que el área de este trapecio circular es de 8,39 cm².

ÁREA DE REGIONES SOMBREADAS Una figura sombreada es una figura geométrica no convencional, y se produce por la superposición de dos o más figuras geométricas tradicionales. Para calcular las áreas sombreadas hay que calcular el área de cada una de las figuras y restar una de la otra. Para comprender bien, lo mejor es partir con ejemplos simples: En la figura, tenemos que calcular el área de la parte sombreada. Vemos que esta se obtiene de la superposición de un círculo dentro de un cuadrado. Entonces, tenemos que calcular el área del cuadrado y a esta restarle el área del círculo. Ejemplo: Calcular el área sombreada de la figura: Vemos que sobre un cuadrado de 8 cm de lado se han superpuesto dos semicírculos cuyo diámetro es 8 cm. Calculemos: Área del cuadrado:  A = L x L → 8 x 8 = 64 cm 2 En realidad, los dos semicírculos forman un círculo completo, por ello calculamos: Como el diámetro del círculo es 8 cm, su radio será 4 cm. Área del círculo:       A  =  ∏r 2 → 3,1416 (4) 2 → 3,1416 (16) → 50,27 cm 2 Ahora, al área del cuadrado le restamos el área del círculo y tenemos 64   ̶  50,27 = 13,73 cm 2 es el área sombreada.